节点变换矩阵

我们应该已经知道了如何创建一个几何，并给它定义材质，使它看起来更加立体和生动，但它仍然是静态物体。如果我们想渲染出一个带有动画的场景，应该怎么做呢？需要用到渲染节点node的transform属性，这个属性用于变换渲染节点在3D空间中的方位，同时也可以对节点内的渲染几何进行拉伸。

什么是transform矩阵

transform属性的数据类型是Matrix4，对一个向量进行任意缩放、平移和旋转变换，都可以看作是给向量左乘一个矩阵，如果存在多次变换，那就相当于连续多次左乘矩阵。那么问题来了，矩阵是如何与旋转、缩放和平移一一对应的呢？

旋转

想要表达3D空间中的一个旋转，需要定义一个角度$\theta$和一个旋转轴$\mathbf u = (𝑥, 𝑦, 𝑧)$，这个旋转轴是任意方向的单位向量。我们可以用一个四元数$\mathbf q$来描述对向量$\mathbf \nu _0$进行旋转，形成一个新向量$\mathbf \nu _1$：

$$\mathbf q = [ cos(\frac 12 \theta), sin(\frac 12 \theta)\mathbf u ]$$ $$\mathbf \nu _1 = \mathbf q \mathbf \nu _0 \mathbf q ^ {-1}$$

四元数与一个旋转矩阵对应，令$a = cos(\frac 12 \theta), b = sin(\frac 12 \theta)\mathbf u_x, c = sin(\frac 12 \theta)\mathbf u_y, d = sin(\frac 12 \theta)\mathbf u_z$，这个矩阵如下：

$$M_{rotation} = \left( \begin{matrix} 1-2c^2-2d^2 & 2bc-2ad & 2ac+2bd & 0 \\ 2bc+2ad & 1-2b^2-2d^2 & 2cd-2ab & 0\\ 2bd-2ac & 2ab+2cd & 1-2b^2-2c^2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right)$$

将矩阵作用到向量$\mathbf \nu _0$上，可以得到同样的结果：

$$\mathbf \nu _1 = M_{rotation} \mathbf \nu _0$$

缩放

对空间中的一个向量进行缩放，由于向量的三个方向上的缩放系数可能不尽相同，所以可以用一个缩放向量来描述：$\left( S_1\, S_2\,S_3\ \right)$，这个向量与一个缩放矩阵对应：

$$M_{scaling} = \left( \begin{matrix} S_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & S_3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right)$$

我们将该矩阵与一个任意向量$\left( x\, y\,z\ \right)$左乘，就会得到一个被缩放的新向量

$$\left( \begin{matrix} S_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & S_3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \times S_1 \\ y \times S_2\\ z \times S_3\\ 1 \\ \end{matrix} \right)$$

平移

平移是在原始向量的基础上，加上一个平移向量从而获得一个不同位置的新向量，如果我们把平移向量表示为：$\left( T_1\, T_2\,T_3\ \right)$，我们就可以把平移矩阵定义为：

$$M_{translation} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & T_1 \\ 0 & 1 & 0 & T_2\\ 0 & 0 & 1 & T_3\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right)$$

我们将该矩阵与一个任意向量$\left( x\, y\,z\ \right)$左乘，就会得到一个被平移的新向量

$$\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & T_1 \\ 0 & 1 & 0 & T_2\\ 0 & 0 & 1 & T_3\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & x+T_1 \\ 0 & 1 & 0 & y+T_2\\ 0 & 0 & 1 & z+T_3\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right)$$

如何使用transform矩阵

首先我们定义一个transform矩阵：

    auto transform = _mat4();

Matrix4类具备以下操作：

• Matrix4::toRotation(), 获取当前矩阵的旋转四元数

• Matrix4::toScaling(), 获取当前矩阵的缩放向量

• Matrix4::toTranslation(), 获取当前矩阵的平移向量

• Matrix4::fromRotation(r), 将旋转四元数r转换成矩阵

• Matrix4::fromScaling(s), 将缩放向量s转换成矩阵

• Matrix4::fromTranslation(t), 将平移向量t转换成矩阵

• Matrix4::rotate(r), 将当前矩阵按照该旋转四元数进行旋转

• Matrix4::scale(s), 将当前矩阵按照该缩放向量进行缩放

• Matrix4::translate(t), 将当前矩阵按照该平移向量进行平移

案例一：平移transform矩阵

在这个例子中，我们将上面定义的transform矩阵按照向量（2， 0， 0）平移，然后我们将该transform矩阵传递给一个渲染节点node，那么在渲染时，该节点中的渲染对象primitive在3D空间中的位置相较原来的位置平移了（2， 0， 0）。

    transform->translate(vec3(2, 0, 0));
    auto node = _node({ primitive }, transform);

案例二：定位器操纵几何

在下面的这个例子中，我们将定位器渲染节点dragger的transform变化，同步给一个cube几何所在的渲染节点，从而实现通过定位器来操纵cube几何。

    dragger->bind("begun", [&]()->void {
		t1 = dragger->getTransForm().toTranslation();
		q1 = dragger->getTransForm().toRotation();
		cubeInit = cubeNode->transform ? *cubeNode->transform : mat4();
		});
	dragger->bind("updated", [&]()->void {
		auto t2 = dragger->getTransForm().toTranslation();
		auto q2 = dragger->getTransForm().toRotation();
		cubeNode->transform = std::make_shared<Matrix4f>(Matrix4f::fromRotation(q2) * Matrix4f::fromRotation(-q1) * Matrix4f::fromTranslation(t2 - t1) * cubeInit);
		render();
		});